基礎概念：分量與列
一個向量 $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$ 由其分量定義；$v_1$ 是第一個分量（通常為水平位移），$v_2$ 是第二個分量（垂直方向）。這種垂直排列不僅是美學上的選擇，更是現代計算中矩陣-向量乘法的先決條件。
標量只是一個數字。當你計算 $2v$ 時，需將每個分量都乘上：$2 \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2v_1 \\ 2v_2 \end{bmatrix}$。負的標量（如 $-1$）會使向量方向相反。
向量加法是按分量進行的：$v + w = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{bmatrix}$。幾何上，這遵循「頭尾相接」規則，即順次追隨一個向量後，可得到總和向量。
線性組合：$cv + dw$
這是線性代數中最關鍵的概念。它代表了通過縮放和相加基向量，到達空間中任意一點的能力。例如：
$$c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + 2d \\ c + 3d \end{bmatrix}$$
若設定 $c=1$ 和 $d=1$，我們得到總和 $v + w = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$。若設定 $c=0$ 與 $d=0$，則達到 零向量: $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。請注意，向量 $\mathbf{0}$ 與標量 $0$ 不同；它是我們坐標系的原點。